Определение и свойства неопределенного интеграла Первообразная и неопределённый интеграл
В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.
Основные свойства интеграла Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём или, что то же самое
Табличные интегралы Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида , может быть обращена (записана в виде интегральной формулы) .
Нахождение неопределенных интегралов Интегрирование подстановкой
Интегрирование по частям Если функции дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл
Интегрирование рациональных функций Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где – некоторые многочлены.
Интегрирование трансцендентных функций
Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Основные понятия
Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).
Число x называется аргументом функции, множество D—областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.
Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1<x2, выполняется условие f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).
Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “числох”.
Пусть e — некоторое положительное число. e-окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0‑e,x0+e), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x e‑окрестности точки
можно выразить с помощью двойного неравенства
0<êx–x0ç<e.
Число e называется радиусом окрестности.